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Espaces vectoriels [Cours]

Cours

Par Allie90

Mise à jour le 10-06-2014

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Ce cours de mathématiques de niveau prépa, rédigé par Mlle Jovignot, professeur de mathématique, porte sur les espaces vectoriels.

Grâce à des exemples et des démonstrations, vous serez en mesure de comprendre les notions associés aux espaces vectoriels : structure, familles particulières, etc.

Entraînez-vous avec des exercices sur les espaces vectoriels.

1. Structure d'espace vectoriel

Définition 1.1 :

Un ensemble E est un K-espace vectoriel s’il est muni d’une loi interne + : E * E → E et d’une loi externe ⋅ : K * E → E telles que :

1. (E, +) est un groupe commutatif ce qui équivaut à :
- (a) (commutativité) ∀x, y ∈ E, x + y = y + x.
- (b) (existence d’un élément neutre) ∃e ∈ E tel que ∀x ∈ E on ax + e = x.
- (c) (existence d’un inverse) ∀x ∈ E, ∃y ∈ E tel que x + y = e.
- (d) (associativité) ∀x, y, z ∈ E, x + (y + z) = (x + y) + z.
2. ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ E, α⋅(x + y) = α⋅x + α⋅y.
3. ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ E, (α+β)⋅x = α⋅x + β⋅x.
4. ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ E, α⋅(β⋅x) = (αβ)⋅x.
5. ∀x ∈ E, 1_K⋅x=x.

1.1 Sous-espace vectoriel

1.2 Sommes de sous-espaces vectoriels

2. Familles particulières d'un espace vectoriel

2.1 Familles génératrices

2.2 Familles libres

2.3 Bases

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