Espaces vectoriels en dimension finie [Cours]

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Mlle Jovignot, notre professeur de mathématiques, vous a préparé un nouveau cours de maths de niveau prépa, qui porte cette fois-ci sur les espaces vectoriels en dimension finie.

Cette fiche est la suite de la fiche sur les espaces vectoriels et espaces linéaires.

Grâce à des exemples détaillés, elle vous explique les différentes définitions à connaître.

Pour vous entraîner, n'hésitez pas à télécharger également la fiche d'exercices associée.

1. Espaces vectoriels de dimension finie, conséquences en terme de bases

Définition 1.1 : Soit E un K-espace vectoriel. Alors E est dit de dimension finie si et seulement si E possède une famille génératrice finie, c'est-à-dire ne comprenant qu'un nombre fini d'éléments. Si E ne possède pas de famille génératrice finie alors E est dit de dimension infinie.

Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie

Définition 2.1 : Soit E un K-espace vectoriel.

1. Si E est de dimension infinie alors on notera dim_KE = +∞.

2. Si E est de dimension finie, alors dim_KE sera le nombre d'éléments que possède une base de E, on appelle dim_KE la dimension de E.

3. Sous-espaces vectoriels et dimension finie

3.1 Dimension d'un sous-espace vectoriel

Proposition 3.1 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F un K sous-espace vectoriel de E. Alors F est un K-espace vectoriel de dimension finie et dim_KF ≤ dim_KE. De plus, il y a égalité si et seulement si F = E.

3.2 Sommes de sous-espaces vectoriels

Proposition 3.2 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F un K sous-espace vectoriel de E. Alors F admet un supplémentaire G dans E.