Dérivation et fonctions trigonométriques (Concours GEIPI)

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I. Présentation

Ce chapitre regroupe deux thèmes du programme de TS : la dérivation et les fonctions trigonométriques. Ce sont deux thèmes très importants en mathématiques puisque le premier est utilisé dès qu’on aborde les études de fonctions et que le second, plus particulièrement pour les propriétés algébriques, est très présent dans l’étude des nombres complexes.

II. Prérequis

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III. Et au concours

La dérivation intervient très souvent dans les exercices du concours GEIPI lorsqu’il s’agit d’étudier une fonction. Très souvent une ou deux questions du sujet entier portent sur ce thème. La trigonométrie apparaît très régulièrement dans les sujets de ce concours soit en utilisant les fonctions soit au travers des nombres complexes.

IV. Rappel de 1S

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V. Dérivée de ? U

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VI. Dérivée de U^N pour tout N appartenant à Z*

Propriété
On considère une fonction u définie et dérivable sur un intervalle I et n un entier relatif non nul. Si n < 0, on supposera de plus que la fonction u ne s’annule pas sur I. La fonction f définie sur l’intervalle I par f(x) = (u(x))ⁿ est dérivable sur I et f ’(x) = nu’(x) u(x)^{n – 1} .

Exemple :
On considère la fonction f définie sur ? par f(x) = (2x3 + 5x + 4)⁵ .
On note u la fonction définie sur ? par u(x) = 2x³ + 5x + 4 et n = 5.
u'(x) = 2 * 3x² + 5 = 6x² + 5.
La fonction f est dérivable sur ? et f ’(x) = 5 * (6x² + 5) * (2x³ + 5x + 4)⁴ .

VII. Dérivée de la fonction x ? U(ax + b)

Propriété
On considère une fonction dérivable sur un intervalle I, deux réels a et b et un intervalle J tel que ax + b appartienne à I pour tout réel x appartenant à J.
La fonction f définie sur l’intervalle J par f(x) = u(ax + b) est dérivable sur J
et f ’(x) = au’(ax + b).
Remarque : On peut généraliser les propriétés précédentes de la façon suivante (mais c’est hors programme).
On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I et une fonction g définie et dérivable sur un intervalle J telle que g(x) appartienne à l’intervalle I pour tout réel x appartenant à l’intervalle J.
La fonction h définie sur J par h(x) = f(g(x)) est dérivable sur I et h’(x) = g’(x) × f ’(g(x)).
On note également la fonction h = f o g qui se lit « f rond g ».

VIII. Trigonométrie

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IX. Récapitulatif

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X. Exercice GEIPI

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I. Présentation
II. Prérequis
III. Et au concours
IV. Rappels de 1S
V. Dérivée de racine de u
VI. Dérivée de U puissance N pour tout N appartenant aux entiers relatifs à l'exception de 0
VII. Dérivée de la fonction x à qui l'on associe u(ax + b)
VII. Trigonométrie
IX. Récapitulatif
X. Exercice Geipi

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