Intégration (concours Geipi)

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I. Présentation

Dans ce chapitre, nous allons voir la dernière notion liée aux fonctions dans ce programme de terminale S. Les intégrales vont nous permettre de calculer, en particulier, des aires. C’est une notion essentielle aussi bien pour les mathématiques que pour les sciences physiques. On sera également amené à parler dans cette fiche de primitives qui est aux fonctions ce que les fonctions sont aux dérivées. On réutilisera les intégrales quand on parlera de probabilités continues, également appelées probabilités à densité.

II. Prérequis

La notion d’intégration utilise tous les propriétés algébriques qui ont été vues jusqu’à présent sur les fonctions. Elle est très liée à la dérivation. Il est donc nécessaire de connaître toutes les formules de dérivation vues en 1S et cette année.

III. Et au concours

IV. Intégrale d'une fonction continue et positive

Définition

On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b].

L’aire, exprimée en unité d’aire, de la surface comprise entre :

• L’axe des abscisses
• La courbe représentant la fonction f
• Les droites d’équation x = a et x = b

Et on lit : « intégrale de a à b de f(x) dx ».

Remarques :

• Le « dx »  est essentiel dans cette notation. Il ne faut donc pas l’oublier.
• En physique, la variable est souvent le temps on écrira donc f(t)dt dans l’intégrale.

V. Primitives

VI. Tableau de primitives

Voici un tableau reprenant les formules de dérivations vues cette année et en 1S mais lues dans un sens permettant de déterminer une primitive.

Voici un tableau reprenant les formules de dérivation des fonctions composées permettant de déterminer une primitive.

VII. Lien entre intégrale et primitive

VIII. Opérations sur les intégrales

Propriétés

On considère deux fonctions f et g continues sur un intervalle I, trois réels a, b et c appartenant à l’intervalle I et un réel quelconque k.

Aire entre deux courbes

XI. Exercice GEIPI

I. Présentation II. Prérequis III. Et au concours IV. Intégrale d'une fonction continue et positive V. Primitives VI. Tableau de primitives VII. Lien entre intégrale et primitive VIII. Opérations sur les intégrales IX. Aire entre deux courbes X. Valeur moyenne XI. Exercice Geipi