La fonction exponentielle (concours GEIPI)

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I. Présentation

Ce chapitre sur la fonction exponentielle utilise les notions vues sur la continuité, la dérivation et les limites de fonctions. Il s’agit d’étudier une nouvelle fonction définie d’une manière toute nouvelle à l’aide d’une équation liant la fonction à sa dérivée. Celle-ci est très utile pour la suite de l’année et pour les études supérieures en mathématiques évidemment mais également dans les autres domaines scientifiques. Elle sera en particulier utilisée en terminale dans les chapitres portant sur les probabilités continues, sur l’intégration et sur les nombres complexes.

II. Prérequis

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III. Et au concours

Ce chapitre est incontournable. Il est présent dans toutes les sessions. Toutes les propriétés de la fonction exponentielle peuvent être abordées. Les calculs de limites de fonctions faisant intervenir l’exponentielle sont cependant très fréquents.

IV. Définition de la fonction exponentielle

Théorème (Définissant la fonction exponentielle)
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur ? telle que :
f'(x) = f(x) pour tout réel x
f(0) = 1
Cette fonction f est appelée fonction exponentielle et on la note exp.
Remarque : exp(x) se lit « exponentielle x » ou « exponentielle de x ».

V. Propriétés de la fonction exponentielle

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VI. Notation e^x

A l’aide de la propriété précédente on se rend compte que pour tout entier relatif n on peut écrire : exp(n) = exp(n × 1) = exp(1)ⁿ .
On choisit de noter e = exp(1).
On obtient ainsi exp(n) = eⁿ et on admet que cette propriété est également vraie pour tous les réels x.

Définition
Pour tout réel x on note exp(x) = e^x.
Exemple : exp(7) = e⁷ exp(-2,5) = e^-2,5

Les propriétés vues précédemment restent bien évidemment vraies.
Propriété (avec la notation e^x)
La fonction exp : x ? e^x est définie et dérivable sur R et elle est égale à sa fonction dérivée .
e⁰ = 1.
Pour tout réel x on a e^x > 0.
Pour tous réels a et b on a e^{a + b} = e^a × e^b et e^{a – b} = e^a/e^b .
Pour tout réel a et tout entier relatif n on a e^na = (e^a)ⁿ .

VII. Quelques limites utiles

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VIII. Fonction exponentielle et composition

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IX. Equations et inéquations

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X. Exercice GEIPI

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I. Présentation
II. Prérequis
III. Et au concours
IV. Définition de la fonction exponentielle
V. Propriétés de la fonction exponentielle
VI. Notation
VII. Quelques limites utiles
VIII. Fonction exponentielle et composition
IX. Équations et inéquations
X. Exercice GEIPI

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