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Mécanique du solide

Cours

Par lauregratias

Mise à jour le 11-05-2016

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Pour étudier le mouvement des astres, en balistique, etc. il est courant de faire appel à la mécanique du point. Avec la 2nde loi de Newton, on fait alors un lien entre les forces qui s’exercent sur le corps étudié et l’accélération de son centre d’inertie. Cela permet d’établir les équations horaires, puis la trajectoire de ce point. Bon nombre de cas de statique, comme un livre posé sur une table, peut aussi être décrit par la mécanique du point, via la 1ère loi de Newton. En fait, la mécanique du point donne une description correcte quand le ou les forces s’exercent en un point unique de l’objet, comme son centre d’inertie, ou quand la position des points d’application des forces n’a pas d’importance. Ainsi, la mécanique du point est applicable pour des objets dont la taille est faible par rapport au déplacement étudié, pour des corps possèdent une symétrie sphérique …

Par contre, si l’on souhaite étudier l’équilibre d’une planche posée sur des tréteaux, la mécanique du point ne peut pas nous aider, car elle ne peut pas prédire un éventuel basculement de la planche. On fait alors appel à la mécanique du solide. Cette branche de la mécanique est particulièrement utile dans le milieu de l’ingénierie, pour concevoir, dimensionner des pièces, des véhicules, des bâtiments … ou dans le milieu sportif (bio-mécanique). Dans le cadre de cette fiche, nous proposons de donner une description de la mécanique du solide. Cette thématique étant particulièrement vaste, cette fiche ne peut être exhaustive quant aux relations et méthodes visibles dans la littérature. Toutefois, nous donnerons les outils de base (moments, torseurs, matrice d’inertie …) pour pouvoir énoncer le théorème fondamental de la statique, et le théorème fondamental de la dynamique. Nous nous placerons dans un référentiel galiléen, pour décrire des solides supposés indéformables. Nous serons dans un cadre non quantique et non relativiste. De bonnes connaissances en mécanique du point sont conseillées pour aborder ce document.

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Plan du document :

I. Statique

A. Mouvement d'une force

B. Principe fondamental de la statique - Torseur des forces extérieures

C. Exemple d'application : L'étagère

D. Modèle du frottement sec : Loi de Coulomb

II. Vitesses

A. Equiprojectivité

B. Torseur cinématique

C. Formule de Bour

D. Composition des vitesses

E. Puissance des forces

III. Matrice d'inertie

A. Centre d'inertie G

B. Moment d'inertie

C. Description de la matrice d'inertie

D. Théorème de Huygens

E. Exemples de matrices d'inertie

IV. Principe fondamental de la Dynamique

A. Torseur cinetique

B. Torseur dynamique

C. Enoncé du principe fondamental de la dynamique

I. Statique

A. Moment d'une force

Considérons deux forces de même valeur, de directions parallèles, mais de sens opposés. En mécanique du point, ces deux forces n’auraient pas d’action sur l’objet, car elles ne feraient que se compenser. En mécanique du solide, elles peuvent engendrer une rotation de l’objet, car elles exercent chacune un moment sur lui, ce qui forme un couple.

B. Principe fondamental de la statique - Torseur des forces extérieures

En mécanique du point, la 1ère loi de Newton indique que si les forces extérieures s’exerçant sur un objet se compensent, alors la vitesse du corps est constante, ce qui inclut le cas v = 0. En mécanique du solide, pour avoir équilibre (statique), cette propriété est nécessaire, mais elle ne suffit pas : il faut également que la somme des moments, calculées en un même point (par exemple en un point A), s’annule également.

C. Exemple d'application : L'étagère

Une charge de masse m est accrochée en un point C d’une étagère E décrite par le schéma : >> Téléchargez le cours pour voir la suite de cette partie.

D. Modèle du frottement sec : Loi de Coulomb

De manière générale, la force de réaction R, exercée par un corps (sol, bâti, support …) sur un autre, se décompose en une composante RN normale au plan de contact entre les deux objets, et une composante RT tangentielle à ce plan. La valeur de RN est telle qu’elle empêche un objet de passer « à travers » un autre, comme celle qu’exerce une table sur un livre posé dessus. RT est un frottement de contact entre les deux objets, qui empêche un mouvement (ex : frein à main d’une voiture stationnée en pente) ou qui s’oppose à lui. Sa valeur dépend principalement de deux facteurs :
1) Les surfaces en contact entre les deux objets (rugosité, matériaux en contact, etc.), ce qui est modélisé par le coefficient de frottements f (sans dimension) dans le modèle du frottement sec de Coulomb. Exemple : f = 0,3 pour un contact acier/acier … 2) La valeur de RN. Par exemple avec une gomme, plus on appuie avec celle-ci sur une feuille de papier (f fixé), plus RN est fort, et plus RT peut être forte elle aussi.

II. Vitesses

A. Equiprojectivité

Puisque l’on considère des solides rigides, la distance entre deux points d’un solide est constante au cours du temps, donc la vitesse relative entre ces deux points est nulle. Ce raisonnement explique l’équiprojectivité du champ de vitesse d’un solide. Dans l’exemple ci-après, on vérifie ainsi que les projections des vitesses Va et Vb sur l’axe (AB) sont égales.