Etude d’un Modèle d’Equations Différentielles Stochastiques Couplées - Application Actuarielle

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Nous consacrons la présente étude à présenter et analyser le comportement d’un modèle stochastique de prix d’actif financier couplé avec taux d’intérêt stochastique. Mais à part ’application de ce type de modélisation dans le domaine financier, plusieurs applications dans différents domaines sont à envisager notamment dans la climatologie (la modélisation de la température), en biologie (la modélisation de l’évolution d’une bactérie) … etc. Le choix des différents modèles se fait à la base d’une dynamique de Black & Scholes couplée avec un modèle de taux d’intérêt stochastique. Plusieurs dynamiques de taux d’intérêt seront présentées en détail dans le troisième chapitre.

Généralité sur les Processus Stochastiques

• I-1 Généralité sur les processus
  
• I-1-1 Processus stochastique
  
• I-1-2 Processus stochastiques particuliers
  
• I-1-2-1 Processus stationnaire
  
• I-1-2-2 Processus à accroissement indépendant
  
• I-1-2-3 Processus à accroissement stationnaire
  
• I-1-2-4 Moments
  
• I-2 Processus de diffusion
  
• I-2-1 Historique
  
• I-2-2 Mouvement Brownien simple
  
• I-2-3 Mouvement Brownien standard
  
• I-2-4 Mouvement Brownien avec drift
  
• I-2-5 Processus d’Itô
  
• I-2-6 Mouvement Brownien géométrique
  
• I-3 Temps d’arrêt et martingale
  
• I-3-1 Martingale à temps discret
  
• I-3-2 Martingale à temps continu
  
• I-3-4 Exemples de martingales browniennes
  
• I-4 Le lemme d’Itô

 

Chapitre II Généralité sur les Equations Différentelles Stochastiques

• II-1 Equations Différentielles Stochastiques
  
• II-1-1 Equations différentielles stochastiques de type Itô
  
• II-1-1.1 Equations différentielles de type linéaire
  
• II-1-2 Equations différentielles stochastiques réductibles
  
• II-1-2.1 Résolution des équations différentielles stochastiques réductibles d’Itô
  
• II-1-3 Résolution d’EDS réductibles de Stratonovich
  
• II-1-4 Existence et Unicité des solutions des équations différentielles stochastiques
  
• II-1-4.1 Solutions fortes d’une équation différentielle stochastique
  
• II-1-4.2 Solution forte et processus de diffusion
  
• II-1-4.3 Solution faible et processus de diffusion
  
• II-1-5 Théorème de comparaison
  
• II-2 Changement de probabilité - Théorème de Girsanov
  
• II-2-1 La formule de Cameron-Martin
  
• II-2-2 Les deux théorèmes de Girsanov
  
• II-2-3 Théorème de représentation prévisible

 

Chapitre III Simulation des Equations différentielles stochastiques

• III-1 Introduction
  
• III-2 La simulation
  
• III-3 La simulation de Monte-Carlo
  
• III-3-1 Description de la méthode de Monte-Carlo
  
• III-3-2 Convergence et limites de la méthode
  
• a- La loi forte des grands nombres et la méthode de Monte-Carlo
  
• b- Théorème de la limite centrale et méthode de Monte-Carlo
  
• c- Un exemple concret
  
• III-4 Simulation des variables aléatoires
  
• III-4-1 Simulation d’une loi uniforme sur [0,1]
  
• III-4-2 Simulation d’autres variables aléatoires:
  
• a- Simulation de variables gaussiennes
  
• b- Simulation de vecteurs gaussiens
  
• III-5 Simulation de processus stochastique
  
• III-5-1 Simulation du mouvement brownien
  
• III-5-2 Simulation des équations différentielles stochastiques
  
• a- Méthode de discrétisation
  
• b- Simulation des équations différentielles stochastiques
  
• III-5-3 Méthode Numériques de résolution des équations différentielles ordinaires
  
• 1- Approximation d’Euler déterministe
  
• 2- Méthodes d’approximation implicites
  
• 3- Méthode d’approximation d’ordre très élevé
  
• 4- Méthode d’approximation d’ordre très élevé
  
• 5- Erreur d’arrondie
  
• III-5-4 Simulation stochastiques en temps discret
  
• 1- Approximation d’Euler Stochastique
  
• 2- Interpolation des approximations par dicrétisation du temps

 

Dynamique des Actifs Financiers sous un modèle de taux d’intérêt stochastique

• IV-1 Dynamique des taux d’intérêt en temps continu
  
• IV-1-1 Notions sur le Processus d’Ornstien-Uhlenbeck
  
• IV-1-2 Modèle de Vasiçek
  
• IV-1-3 Modèle de COX, INGERSOLL & ROSS (CIR)
  
• IV-1-4 Limite de ces deux modèle
  
• IV-2 Modelisation Des Actifs Financier
  
• IV-2-1 Modélisation dans l’univers RISQUE-NEUTRE
  
• IV-2-2 Le Modèle de Black et Scholes dans l’univers RISQUE-NEUTRE
  
• IV-2-2-1 Le modèle de BLACK & SCHOLES avec modèle de taux d’intérêt de Vasiçek
  
• IV-2-2-2 Le modèle de BLACK & SCHOLES avec modèle de taux d’intérêt de CIR
  
• IV-2-3 Analyse statistique des résultats de simulations
  
• IV-3 Transformation d’un système d’EDS en unmodèle linéaire
  
• A. Application aux modèles stochastiques couplés sans sauts
  
• B. Application aux modèles stochastiques couplés avec sauts
  
• IV-4 Application Actuarielle

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